【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题之一。垂直的向量之间具有特定的数学关系，这种关系可以通过向量的点积（内积）来判断。以下是对“向量垂直公式”的总结与解析。
一、向量垂直的定义
若两个非零向量 a 和 b 满足它们的夹角为 90°，则称这两个向量互相垂直。在数学上，这可以通过它们的点积等于零来判断。
二、向量垂直的公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
若两个向量 垂直，则有：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
这是判断两个向量是否垂直的核心公式。
三、不同维度下的应用
以下表格展示了二维和三维空间中向量垂直公式的具体形式：
| 维度 | 向量表示 | 垂直条件 |
| 二维 | a = (a₁, a₂) b = (b₁, b₂) | $ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 $ |
| 三维 | a = (a₁, a₂, a₃) b = (b₁, b₂, b₃) | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 $ |
四、应用举例
例1：
向量 a = (2, 3)，向量 b = (-3, 2)
计算点积：$ 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0 $
结论：a 与 b 垂直。
例2：
向量 a = (1, -2, 4)，向量 b = (2, 1, 0.5)
计算点积：$ 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 4 \times 0.5 = 2 - 2 + 2 = 2 $
结论：a 与 b 不垂直。
五、小结
- 向量垂直的核心判定方法是它们的点积为零。
- 公式适用于任意维度的向量。
- 在实际应用中，该公式广泛用于几何、物理、工程等领域。
通过掌握这一公式，可以快速判断向量之间的关系，为后续的计算和分析提供基础支持。
