【向量的叉乘公式】在三维几何与向量代数中，向量的叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所构成的平面，大小则由这两个向量的模长及夹角决定。

一、叉乘的基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果为向量 c = a × b，满足以下性质：

- 方向：由右手定则确定，即四指从 a 向 b 弯曲时，拇指指向的方向。

- 大小：c = absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角。

- 正交性：c 与 a 和 b 都垂直。

二、叉乘的计算公式

叉乘的计算可以通过行列式的方式进行，具体公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以表示为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、叉乘的性质总结

四、应用场景

- 物理：力矩、磁力等矢量计算；

- 计算机图形学：法线向量计算、旋转轴确定；

- 工程力学：分析结构受力情况；

- 数学：求解平面方程、体积计算等。

五、示例计算

设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3, 6, -3)

$$

通过以上内容可以看出，叉乘不仅是向量运算中的重要工具，也具有明确的数学表达和丰富的实际应用价值。掌握其公式与性质，有助于深入理解三维空间中的向量关系。