【调和级数n分之一为什么是发散的】调和级数是一个经典的数学问题，其形式为：

$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots $$

虽然每一项 $\frac{1}{n}$ 随着 $n$ 的增大而趋于零，但这个级数的和却不会收敛，而是无限增长。这就是调和级数的“发散”性质。

一、调和级数的基本概念

调和级数是由自然数的倒数组成的无穷级数，即：

$$

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

$$

尽管每一项都越来越小，但由于加法的累积效应，其总和会不断增大，最终趋向于无穷大。

二、为什么调和级数是发散的？

调和级数的发散性可以通过多种方法证明，包括比较判别法、积分判别法等。以下是一些关键思路：

1. 比较判别法

我们可以将调和级数与一个已知发散的级数进行比较。例如：

- 将调和级数分组如下：

$$

\left(1\right) + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots

$$

- 每一组的和都大于或等于 $\frac{1}{2}$，因此整个级数的和可以看作是无限多个 $\frac{1}{2}$ 相加，显然发散。

2. 积分判别法

考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，在区间 $[1, \infty)$ 上是正的、连续的、递减的。

根据积分判别法，如果 $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx$ 发散，则对应的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 也发散。

计算积分：

$$

\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \ln x \Big_1^\infty = \infty

$$

因此，调和级数发散。

三、调和级数的增长速度

调和级数的增长速度非常缓慢，但它仍然趋向于无穷大。具体来说，前 $n$ 项的和大约为：

$$

H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \approx \ln n + \gamma

$$

其中 $\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数（约0.5772）。

这说明，即使 $n$ 很大，调和级数的和也会随着 $n$ 增长而不断上升，只是增长速度非常慢。

四、总结对比表

五、结语

调和级数看似简单，实则蕴含深刻的数学原理。它的发散性提醒我们：即使每一项都趋近于零，也不能保证级数一定收敛。调和级数不仅是数学分析中的经典例子，也是理解无穷级数行为的重要起点。